Mathematische Grundlagen

Bell-State-Fidelity

Die Bell-State-Fidelity ist ein Maß dafür, wie gut ein gemessener Quantenzustand mit einem idealen Bell-Zustand übereinstimmt. Sie ist definiert als:

Bell-State-Fidelity F = ⟨Φ⁺|ρ|Φ⁺⟩

Wobei:
|Φ⁺⟩ = (|00⟩ + |11⟩)/√2 (idealer Bell-Zustand)
ρ = Dichteoperator des gemessenen Zustands

In AitherShield wird ein Schwellenwert definiert (typischerweise F_threshold ≈ 0.9). Fällt die gemessene Fidelity unter diesen Wert, deutet dies auf eine Störung oder einen Manipulationsversuch hin.

Mahalanobis-Distanz für Kontextvalidierung

Die Mahalanobis-Distanz wird verwendet, um die Abweichung aktueller Sensordaten von Referenzwerten im 5D-Kontextspeicher zu messen:

Mahalanobis-Distanz D_M = √((x - μ)ᵀ S⁻¹ (x - μ))

Wobei:
x = aktueller Sensorvektor (5D)
μ = Referenzvektor aus dem Speicher
S = Kovarianzmatrix
S⁻¹ = Inverse der Kovarianzmatrix

Diese Distanz berücksichtigt die Korrelationen zwischen verschiedenen Dimensionen (Zeit, Raum, Umgebung, Quantenzustand, Sicherheit) und ermöglicht eine robuste Anomalieerkennung.

Entropieverstärkung durch Quantenkaskade

Die Entropieverstärkung in der Quantenkaskade folgt dem informationstheoretischen Modell:

Entropieverstärkung H_out = 1 - (1 - H_in)ⁿ

Wobei:
H_in = Eingangsentropie (pro Bit)
H_out = Ausgangsentropie nach n Kaskadenstufen
n = Anzahl der Kaskadenstufen (typisch: 5)

Bei H_in = 0.97 und n = 5 ergibt sich H_out > 0.999, was eine nahezu perfekte Entropie garantiert.

Avalanche-Effekt in Quantenschaltkreisen

Der Avalanche-Effekt beschreibt, wie kleine Änderungen im Seed zu großen Änderungen in der Ausgabe führen:

Seed-Sensitivität ΔFidelity ∝ e^(ΔSeed · QubitCount)

Wobei:
ΔSeed = Änderung im Seed (in Bits)
QubitCount = Anzahl der verwendeten Qubits
ΔFidelity = Resultierende Änderung in der Fidelity

Dies bedeutet, dass bereits eine minimale Änderung im Seed (z.B. 1 Bit) zu einer exponentiellen Degradation der Datenqualität führt, was den Lock-in-Effekt verstärkt.

Dekohärenzzeit-Prognose

Die effektive Dekohärenzzeit T₂* wird unter Berücksichtigung von Magnetfeldfluktuationen berechnet:

Dekohärenzzeit T₂* = 1 / √(1/T₂² + (γΔB)²/2)

Wobei:
T₂ = intrinsische Dekohärenzzeit
γ = gyromagnetisches Verhältnis
ΔB = Magnetfeldfluktuationen

Diese Formel ermöglicht es AitherShield, die Stabilität der Qubits unter realen Umgebungsbedingungen vorherzusagen und adaptive Gegenmaßnahmen zu ergreifen.

Konsistenz-Score-Berechnung

Der Konsistenz-Score für Multi-Backend-Validierung basiert auf der Hamming-Distanz der häufigsten Bitstrings:

Konsistenz-Score consistency_score = 1 - (Hamming_Distance / n_qubits)

Wobei:
Hamming_Distance = Anzahl unterschiedlicher Bits
n_qubits = Gesamtzahl der Qubits

Ein Score < 0.9 deutet auf Inkonsistenzen zwischen verschiedenen Quantenprozessoren hin und löst einen Sicherheitsalarm aus.

FFT-basierte Interferenzanalyse

Die Fast Fourier Transformation wird auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Messergebnisse angewendet:

FFT-Analyse fft_result = FFT([P(|0⟩), P(|1⟩), ..., P(|n⟩)])

Wobei:
P(|i⟩) = counts[state_i] / total_shots
FFT = Fast Fourier Transformation

Abweichungen in den dominanten Frequenzen und Amplituden im Vergleich zu einem Referenzlauf deuten auf externe Störungen oder gezielte Manipulationen hin.